Numerical computation 高並列数値計算アルゴリズム技術

Japanese

研究概要

コンピュータによるシミュレーションは，新素材の開発，タンパク質やDNAなどの働きの解析，自動車などの製品の効率的な設計・開発，精度の高い気象予測，超新星爆発現象の解明など，ナノレベルから宇宙規模の現象まで産業や科学の幅広い分野において必要とされています．

そのようなシミュレーションの際に連立一次方程式や固有値問題が現れ，近年では問題の規模が大規模なものとなっており，それらの問題を高速で解くことが重要な課題となっています．

数値計算グループでは物理や化学，生命科学などの分野の研究者と協力して，これらの問題に対してコンピュータのための数学を駆使した効率的な計算方法の研究開発や並列環境での実験を行っています．
連立一次方程式の解法

連立一次方程式は Ax = b で表される問題の x を求める問題です．この方程式は熱流体解析や構造物の強度計算，ヒトのDNA解析など様々な分野の数値シミュレーションで現れ，そのシミュレーションの計算時間の大部分が求解に費やされます．この方程式を解く方法には直接解法と反復解法があります．

直接解法にはガウスの消去法やLU分解などがあり，有限回の演算で必ず解くことができるものの計算量・メモリ使用量が膨大となります．反復解法にはKrylov部分空間反復法があり，計算量・メモリ使用量が少ないものの，問題によって多くの反復回数を要する場合があります．数値計算グループでは主にKrylov部分空間反復法を用いた解法をメインに研究を行っています．

研究テーマ例

  • BSAIC前処理
  • 気象シミュレーションから現れる連立一次方程式
  • BlockIDR(s)法の開発
固有値問題の解法

固有値問題とはある行列の固有値・固有ベクトルを求める問題のことです．固有値問題には Ax = λx で表される標準固有値問題や Ax = λBx で表される一般化固有値問題，2次以上や平方根などより複雑な項が現れる非線形固有値問題 F(z)x = 0 などがあります．このような問題に対して数値計算グループでは主に周回積分を用いた固有値解法（SS法）をメインに研究を行っています．

SS法は周回積分を用いた固有値解法であり，様々な固有値問題への対応が可能な解法です．また高い並列性をもつため，並列計算機での計算が有効となります．そしてその解法の中で連立一次方程式が現れます．

研究テーマ例

  • SS法における耐故障性
  • 遅延微分方程式から現れる非線形固有値問題
  • 量子ドットに現れる５次多項式固有値問題
  • 非線形固有値問題における固有値分布推定

English

Outline

Computer simulations are required in broad areas in industry and science from nano-level to cosmic scales
, such as the development of new materials, functional analysis of protein and DNA, efficient design and development of products for vehicles, accurate weather prediction, supernova explosion, and so on. In such simulations, linear systems of equations and eigenvalue problems have become significant in recent years. Therefore, it is important to solve such problems efficiently. This computational group studies high-performance algorithms and develops computer programs, collaborating with researchers such as in life science.
Solutions of linear systems of equationsSolving a linear system of equations is to find x of Ax=b. The equations arise in numerical simulations such as thermal fluid analysis, structural analysis, DNA analysis, etc. The solution dominates the computational time. The methodologies for the solutions include direct and iterative methods.

Direct methods include the Gaussian elimination and LU decomposition. These approaches can solve linear systems in a finite number of operations but require considerable computational costs and memory.
On the other hand, iterative methods include Krylov subspace methods and require less computational costs and memory but may require many iterations. This numerical computation group mainly studies Krylov subspace iterative methods.

Themes

  • BSAIC preconditioner
  • Linear systems of equations from weather simulations
  • Block IDR(s)
Solutions of eigenvalue problems
An eigenvalue problem is to find eigenvalues and eigenvectors of a matrix. Eigenvalue problems include the standard eigenvalue problem Ax=λx, generalized eigenvalue problem Ax=λBx, nonlinear eigenvalue problems of quadratic order, with square root, more complicated terms, etc. This numerical computation group mainly studies eigensolvers using contour integrals (SS methods). The SS methods can deal with a variety kind of eigenvalue problems. Moreover, they are highly parallelizable and are efficient in parallel computers. The eigensolvers involve linear systems to solve.

Themes

  • Fault-tolerance of SS methods
  • Nonlinear eigenvalue problems arising from delay differential equation
  • Fifth-order eigenvalue problems arising in quantum dot
  • Estimation of eigenvalue distributions of nonlinear eigenvalue problems

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